Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

Hướng dẫn

Gọi a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác vuông cần tìm. Giả sử 1 ≤ a ≤ b < c ( c là cạnh huyền)

Ta có a²+b²=c²(1)

Do số đo diện tích bằng số đo chu vi nên ta có: ab=2(a+b+c) (2)

Từ (1) ta có a²+b²=c² suy ra c²=a²+b²+2ab-2ab

⇔ c²=(a+b)²−2ab

⇔ c²=(a+b)²−4(a+b+c) ⇔ c²+4c=(a+b)²−4(a+b)

⇔ c²+4c+4=(a+b)²−4(a+b)+4

⇔ (c+2)²=(a+b-2)²

Do a+b ≥ 2 nên a+b-2 ≥ 0 suy ra c+2= a+b−2⇔c=a+b−4

Thay vào (2) ta được: ab=2(a+b+a+b−4)⇔ ab−4a−4b+8 = 0

⇔ b(a−4)−4(a−4)=8⇔(a−4)(b−4)=8 .

Suy ra a−4=1; b−4=8 hoặc a−4=2; b−4=4

Nên a=5; b=12 hoặc a=6; b=8.

Vậy ta tìm được tam giác vuông có các cạnh (5;12;13) hoặc (6;8;10).